Bird è apparso sulla scena del karting nel 2002 all'età di 15 anni. Dopo due anni di successo con i kart nel regno Unito e in Europa, il pilota britannico ha vinto una borsa di studio per gareggiare nella stagione inaugurale della Formula BMW con la Carlin Motorsport, terminando l'anno come uno dei migliori piloti esordienti con tre vittorie. Bird è rimasto nella Formula BMW per una seconda stagione, al termine della quale si è classificato al secondo posto nel campionato. Passando alla Mercedes F1 per il test per giovani piloti ad Abu Dhabi, il britannico è stato nominato pilota di riserva per la stagione 2011 ed ha aiutato il team a eseguire i test durante le stagioni 2012 e 2013.  

Per la stagione inaugurale dell'ABB FIA Formula E Championship nel 2014, Bird ha firmato per la Virgin Racing. Avendo guidato per il team in ogni gara di Formula E disputata finora, il pilota britannico ha ottenuto un terzo posto come miglior piazzamento nella stagione 2017/18, dopo aver combattuto per il titolo piloti contro Jean-Éric Vergne della DS Techeetah e Lucas Di Grassi dell'Audi Sport Abt Schaeffler.

Tra la prima e la quarta stagione, il pilota britannico è arrivato alle fasi finali della serie con una remota probabilità matematica di vincere il campionato, senza riuscire alla fine a spuntarla. Ancora alla ricerca del primo titolo di campionato, Bird ha terminato la sua stagione più recente nella serie tutta elettrica al nono posto, dopo una stagione deludente con l'Envision Virgin Racing. Apprestandosi a disputare la sua sesta stagione, il britannico si ritrova nuovamente a lottare per il titolo con il compagno di scuderia Robin Frijns.