Turvey começou sua carreira no kart depois de ser levado para um evento por seu pai, que trabalhava na indústria automobilística e queria tentar algo novo. Ele imediatamente aceitou e convenceu sua família a deixá-lo correr toda semana. Pouco depois, seu hobby passou a ser algo mais sério quando ele começou a participar de corridas em sua pista local.

Alguns campeonatos locais do clube depois, Turvey ficou sabendo que poderia pensar em competir profissionalmente. Ele fez sua estreia em monopostos na Winter Series da Fórmula Renault britânica e, um ano depois, na Fórmula BMW britânica. No ano seguinte, sem orçamento para correr a temporada inteira, o piloto britânico perdeu o início da temporada da Fórmula BMW.

Em 2006, ele derrotou outros cinco finalistas e venceu o prestigioso prêmio McLaren AUTOSPORT BRDC, o que o levou a fazer sua estreia nos testes da Fórmula 1 pela equipe britânica em 2009. Ele continua fazendo parte da lista de testes da McLaren até hoje.

Em 2008, Turvey foi vice-campeão perdendo para Jaime Alguersuari na F3 britânica, o que levou a uma temporada de Fórmula Renault 3.5, durante a qual ele buscou uma vitória em Mônaco. Apesar de ter conquistado uma vitória na GP2 Ásia, ele nunca teve o mesmo sucesso na categoria principal e, em 2012, Turvey se mudou para a GT Racing pela McLaren. Fora da Fórmula E, Turvey correu na categoria Super GT Japonesa em 2015 e 16, competindo também nas 24 Horas de Le Mans e no World Endurance Championship pela CEFC TRSM Racing na classe LMP1.

Indo para a Fórmula E em 2015, o britânico terminou entre os dez primeiros em sua corrida de estreia. Em seguida, Turvey continuou na equipe chinesa em uma segunda temporada em 2015/16. Lutando com um carro imprevisível, suas oportunidades de brilhar eram limitadas, mas ainda assim ele conseguiu avançar nas duas sessões da Super Pole na rodada dupla em Londres. Sua boa fase nos treinos de classificação continuou na temporada 2016/17 e ele marcou sua primeira pole no México, onde liderou a corrida até que um problema mecânico fez seu carro parar na pista. Em sua quarta temporada na categoria (2017/18), Turvey tentou sua primeira vitória no campeonato no México depois de largar na pole, mas não era para ser. O piloto britânico ficou em segundo, atrás de Daniel Abt, da Audi Sport Abt Schaeffler.

Na temporada 2019/20, Turvey segue ao lado do companheiro de equipe Ma Qing Hua com os dois pilotos disputando o título. Com quatro temporadas completas, Turvey tentará sua primeira vitória na categoria.